试图对音数的预习

北京大学数学科学学院 王杰教授 开设的通识教育课程《音乐与数学》

非常神奇（超级好玩，虽然可能专业人士看来会有点民科？）

王杰老师的主页

在开始不妨先放上清华一个没选上音数的朋友对音乐小白我的一些推荐

B站视频：好和弦

调性和声与20世纪音乐概述

豆瓣：图解和声

并感谢民乐社的某个朋友对我进行最最最最基础乐理的科普。

音乐基础知识1

声音

声音(sound)是音乐的载体

声波是纵波(longitudinal wave)

声音的高低是由振动频率(frequency)决定的，对应于音乐中的音高(pitch)
声音的强弱是由振动幅度(amplitude)决定的，对应音乐中的力度(dynamics)，我们听到的响度(loudness)是由传入耳朵中的空气压力决定的
声音持续的时间长度，对应音乐中的时值(duration)
不同声音的特色是由振动波形(waveform)决定的，对应于音乐中的音色(timbre)

人耳能听见的声音，振动频率范围为 20~20000 Hz。
音乐会音高(concert pitch) 指的是中央C上方的A定义为 440Hz。

振动体发出声音的强度（客观强度）由振幅决定，人耳听到声音的大小（主观强度）由空气压力绝对。

人耳对空气压力的感觉非常灵敏，当频率为 1000Hz 时，人耳的听觉下限为 20 微帕.$20\mu Pa = 2\times10^{-5}Pa$

人耳对频率的感知不是线性的，在声学中用 声压强度 (sound pressure level,SPL) 来度量，定义 $Lp = 10\log {10}(\frac{p}{p0})^2=20\log {10}(\frac{p}{p_0})$，其中 $p_0$ 是 1kHz 时听觉下线阈值 (20 微帕)，$L_p$ 单位为分贝

人耳对于不同频率的声音有着不同的听觉下限阈值。

振幅包络(envelope) 是振动波型的包络面，可以看成 Attack起音，Decay 衰减，Sustain 持续，Release 释放

描述声音的各个频率成分随时间变化的图形称为 频谱图(spectrogram)，在频谱图上，横坐标轴通(axis)常表示时间，，纵坐标轴表示频率。对于每个固定的频率，其随时间变化的振幅通常用颜色、亮度(brightness)或者灰度表示。

泛音列(overtone series,harmonic series) 指的是把声音的各个频率成分从低到高排列起来形成的序列。

得到声音的频率成分可用傅里叶分析的方法。可以在 时域(time domain) 和 频域 (frequency domain) 上进行转换。

声音可以分为 乐音(musical tone) 和 噪音 (noise) ，乐音是持续有规律的振动产生的声音，噪音是无规律，起伏不定的振动产生的音乐。二十世纪以来音乐家越来越重视噪音的使用—organized sounds

在打击音乐(percussion instruments) 中，一类是具有固定音高的(definitely pitched)，比如木琴(xylophone)，定音鼓(timpani)等，另一类是无固定音高的(indefinitely pitched)，例如小军鼓(snare drum)、鈸(cymbal)等

乐音

音乐中使用的、具有固定音高的全体音乐构成一个集合，称为乐音体系，其中的元素成为音级。

可以把全体音级从低到高排列起来，得到音列。音列中相邻的两个音级之间相差了一个半音(semitone) 。两个半音称为 全音(whole tone)

应当把钢琴键盘的一个八度背下来，还应当把中音低音高音的五线谱背下来

pitch 有沥青的意思

每个音级有一个名字，称为音名 (pitch name) ，基本音名为CDEFGAB，在一个八度(octave) ，相应位置的音循环使用这七个音名。为了区分不同八度同名的音，人们把这些音级分成若干音组

有基本音级 ，C,D,E,F,G,A,B，以及变化音级，通过在音级字母前面添加 变音记号 (accidental)

升号 sharp $\sharp$，降号 flat $\flat$ ，重升号 double sharp ,重降号 $\flat\flat$，还原号 natural $\natural$

还有唱名法也可以给乐音起名字，可以是do,re,mi,fa,sol,la,si，

对于固定场名法，和钢琴键是一一对应的，C=do。还有首调唱名法(movable do)，do可以是别的

谱

中国古代有 减字谱 ，将古琴的指法名称和弦序、徽位结合为文字。

五线谱

附点音符让时值乘上二分之三

五线谱中，音符的符尾一定是朝右的

拍号(time signature) ，m/n：以n分音符为一拍，每小节m拍

速度(tempo)，表示每分钟演奏（唱）多少个几分音符

五线谱某条线表示什么，通过谱号(clef)来确定，常用的有高音符号 (treble clef)、低音符号(blass clef)、中音符号(alto clef)

高音符号巧计：FACE（脸呢），EGBDF（every good boy does fine），C4是下加一线

低音符号：C4是上加一线。

重音符号：中间是C4。

谱表(staff) 分为 单谱表和 联合谱表，通过连谱号，例如由花括号联结的高音谱表和低音谱表就构成大谱表(grant staff)，比如合唱谱的总谱

在音谱每一行的开始，变音符号叫做调号(key signature)，对所有音名不管什么八度都适用。

小节内的是临时变音记号，对小节内有用，注意有时需要还原。（连音号连起来的也是和上一个小节一样的变化，没有还原）

以及还有简谱。

音程

两个音级间的距离称为 音程(interval)，高的称为 上方音，也叫 冠音，下的叫做下方音 或者 根音，两个音先后发声是 旋律音程，同时发声是 和声音程

音程的名称由两个参数 度数 和 半音数 共同决定

这个数一数五线谱查了多少，再数一数钢琴键盘上差了多少就可以了

就1，4，5，8是纯的，然后大二大三和小二小三很明显，前后差了1，算一算大概。

有些音程是 协和音程(consonant interval) ，有些是不协和音程(dissonant interval)，大概就是听起来舒服的和谐的。两个频率越是简单整数比就越和谐。赫尔姆霍兹有个所谓的泛音列重合理论。还是挺有道理的。

比如想象中的内容要多啊sigh

音乐基础知识2

梅森定律

一个假设(assumption)，给定一条 均匀的细弦

三个参数(parameters)，长度L，受到张力T，线密度$\rho$

不知道什么是张力，寄😇

假设这条均匀的细弦被固定在水平轴 $(0,0)$ 和 $(L,0)$ 之间，设 $u(x,t)$ 是位置 $x$ 在时刻 $t$ 的位移，取弦上的一小段 $PQ$ ，其坐标分别为 $(x_0,u(x_0,t))$ 和 $(x_0+\Delta x,u(x_0+\Delta x,t))$

弦受到张力为 $T$ ，其线密度为 $\rho$，设 $T_Q$ 为 $Q$点向上分力，$T_P$ 为 $P$ 点向下的力，则 $PQ$ 受到的力 $F = T_Q-T_P\approx T(\tan \beta-\tan\alpha)$ ，而 $m=\rho\Delta x$

不是很明白这个约等于是怎么来的

由牛顿第二定律，整理后可得

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}|_{x=x_0}=\frac{\rho}{T}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}|_{x=x_0}$$

由 $x_0$ 的任意性，

$$\forall x,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial t^2} ,c=\sqrt\frac{\rho}{T}$$

由边值条件 $u(0,t)=u(L,t)=0,\forall t\ge0$

……

然后接下来一句话大概是

根据一加一等于二，我们可以得到一个无穷级数

中间大概是忽略了一堆东西，一堆我不懂的东西

有机会一定要好好学一学

运用变量分离法，得到了 $u(x,t)$ 的完整解

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infin}u_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infin}(a_n\cos\frac{n\pi c}{L}+b_n\sin\frac{n\pi c}{L})\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$

记 $\omega_n=n\pi c/L,\sin\theta=a_n/\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

$u_n(x,t)=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin(\omega_nt+\theta_n)\sin(\frac{n\pi}{L}x)$

取 $n=1$，$\omega_1=\pi c/L$

周期为 $2\pi/\omega_n$

$f_1=u_1(x,t)=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}$

由此可得梅森(Mersenne)定律，弦的振动频率与其长度成反比，与其张力的平方根成正比，而与弦的线密度的平方根成反比。

张力是什么呀（

张量又是什么呀

我好菜啊

例 给定一根两端固定的均匀细弦，当其受到的张力为 $T_1$ 时弦发出 $C_4$ 音。将其张力调整到 $T_2$ 时该弦发出 $G_3$ 音。假定纯四度音程的频率为 $4:3$ ，求比值 $T_2:T_1$。

$$C_4\sim \sqrt{T_1}\\G_3\sim\sqrt{T_2}\\ G_3:C_4=3:4\\ T_2:T_1=9:16$$

振动模态与泛音

弦的振动并非简单的单一频率运动，而是无数个正弦振动的叠加，对于 $n=1,2…$，

$$u_n(x,t)=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin(\omega_nt+\theta_n)\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$

称为弦振动的第 $n$ 个 振动模态(mode of vibration)，容易发现其振动频率为 $f_n=nf_1$。

弦的振动频率组成的序列 $f_1,f_2,f_3…$ 称为弦的 固有频率(natural frequencies) ，$f_1$ 称为 基频(fundamental frequency)，对应的声音称为 基音(fundamental note)，而 $f_n(n>1)$ 对应的声音称为 泛音(overtone)，其中 $f_2$ 称为 第一泛音，以此类推。

音乐上通常把 $f,2f,3f,4f,5f…$ 这个序列称为 泛音列(harmonic series)

两个频率和振幅相同，但是行进方向相反的波在同一个介质中叠加，会形成 驻波(standing wave)，整条弦的振动波形稳定驻留在原地，不随时间变化。振幅为 0 的点称为 波节(node)，振幅最大的点位于两个节点之间，称为 波腹(antinode)

高中物理知识！

belly是肚皮的意思！

然后还有一种叫做呼麦的非遗唱法，通过控制口腔气息来突出某些泛音，形成两个声部的效果！（让人想起约德尔）

拨弦与傅里叶级数

$$\left\{ \begin{array}{} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial t^2},x\in[0,L],t\ge 0 \\ u(0,t)=u(L,t)=0,\forall t\ge 0 \\ u(x,0)=\phi(x) (初始形状)\\ \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0} = \psi(x)(初始速度) \end{array} \right.$$

对于拨弦的情况，把 $x_0$ 点拨到距离原来 $h$ 的地方，这时候 $\phi$ 是一个折线函数

$\phi(x)=u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infin}a_n\sin (n\pi x/L)$

把0代入

给定 $L>0$ 和区间 $[-L,L]$ 上周期为 $2L$ 的连续函数 $f(x)$，如果 $f(x)$ 在 $[-L,L]$ 内分段可微，则有

$$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\forall x\in[-L,L](*)$$

其中 $an=\frac{1}{L}\int{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi}{L}xdx,bn=\frac{1}{L}\int{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi}{L}xdx$，称为 $f(x)$ 的傅里叶系数，(*) 式右端称为 $f(x)$ 的傅里叶级数。

作为数分下半学期的内容，现在还没看过www

直观的想法的是这些函数正交，所以求函数空间中的内积，然后体现出来就变成乘积的积分的平均值？

$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infin}a_n\sin(n\pi x/L)\\ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\phi(x)\sin {\frac{n\pi}{L}}x dx$$

我的理解是，一方面因为$phi(x)$是折线函数，分段可微，另一方面$phi(x)$ 只有 $a_n$ 这一项积分不是0，

抽象的理解依然就是函数空间的内积，但是感觉推积分推不出来

等我学完傅里叶级数就来update这部分内容

确定系数 $b_n$ 需要用到另一个初值条件，初始速度 $\psi(x)$ ，假定解 $u(x,t)$ 有足够的光滑性，从而其 Fourier 级数可以逐项求导，于是有

$$\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\sum_{n=1}^{\infin}\dfrac{n\pi c}{L}\sin(\frac{n\pi}{L}x)(b_n\cos\frac{n\pi c}{L}t-a_n\sin\frac{n\pi c}{L}t)|_{t=0}\\=\sum_{n=1}^{\infin}b_n\frac{n\pi c}{L}\sin(\frac{n\pi}{L}x)=\psi(x)$$

可以假定初始速度为0，从而所有 $b_n$ 均为 0。

故而最终，

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infin}a_n\sin(\frac{n\pi}{L}x)\cos(\frac{n\pi c}{L}t)$$

对于 $L/2$ 处（七徽处，弦中间）的拨弦，通过计算可得

$$u(x,t)=\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\dfrac{8}{(2k+1)^2\pi^2}\sin(\frac{(sk+1)\pi}{L}x)\cos(\frac{(2k+1)\pi c}{L}t)$$

可见此时并非所有可能的振动模态都会出现，其固有频率只有对应于奇数的频率才会出现。

几何解释是，在 $L/2$ 处释放弦以后，两边是对称的，而偶数的振动对应的波形是反对称的是不可能的。

管乐器

振动的空气柱会超出管的端口，故需对其音高（频率）进行 端口校正(end correction)

明朝著名律学家，历学家，音乐家，朱元璋九世孙，朱载堉（1536~1611）就在其著作《律学新说》(1584)中介绍了这个问题。而西方物理学家 Tyndall 在 1878 年的作品中依然忽略了这个问题。清朝科学家，中国近代化学启蒙者徐寿受朱载堉启发，对相关问题做了研究，成果发表在 Natrue(1881) 上。

在不计管口校正的时候，开口位置总是处于振动的波腹，闭口位置只能处于波节。

对于开管的振动模态，设管长为 $L$ ，则 $L=\lambda_1/2=\lambda_2=3\lambda_3/2…$

$\lambda_n=2L/n$，故以 $f=f_1=v/2L$ 为基频，开管的泛音列为 $f,2f,3f,4f…$

对于闭管，，$L=\lambda_1/4=3\lambda_2/4=5\lambda_3/4…$

$\lambda_n=4L/(2n-1)$

以 $f=f_1=v/4L$ 为基频，泛音列为 $f,3f,5f,7f…$ 闭关只有偶次泛音

近似认为长笛是开关，单簧管是闭管，有效管长约为0.66m，声速为340m/s

计算可得，长笛基频为 258Hz（C4），单簧管为 129Hz（D3，记谱为E3—移调乐器）

有一种称为 超吹(overblow) 的东西，让管子发出的是泛音，长笛超吹是高八度，单簧管超吹是高十二度。

律学

1、吕氏春秋里的三分损益，关于管子的长度，从宫音(3^4=81)开始，每次先乘上 $4/3$ ，再乘上 $2/3$ ，以此类推。有相关的五音十二律。但会出现旋宫不归的问题。

十二律 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

2、毕达哥拉斯学派的五度相生 ，先乘 $3/2$ ，再乘 $3/4$ ，超过八度就乘 $1/2$ ，三度音程不是理想的大三度比例，会出现毕达哥拉斯音差(Pythagorean comma)。

五度相生律 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

感觉配点图会好看很多

关于大三度等多个音一起演奏，使单声音乐(monophony) 变成复调音乐(polyphony)，而后又演化出主调音乐(homophony)

复调音乐不同声部具有相对独立性，按照 对位法(counterpoint) 结合在一起。

主调音乐以一个声部为主要旋律，各个声部缺乏独立性，主要是其伴奏烘托作用。

关于赋格和卡农，看GEB的时候才明白一点（

3、文艺复兴时期的纯律(just intonation)，以大三度为 $5/4$ ，纯五度为 $3/2$ ，纯四度为 $4/3$，纯八度为 $2/1$ 来构造。基本三和弦都符合理想的比例$4:5:6$，对于多声部音乐具有重要作用。

关于《查拉图斯特拉如是说》中先后出现的 $C_3,C_4,G_4,C_5,E_5,\flat E_5$，假定 $C_3$ 的频率为f，则按照纯律，这些频率为 $f,2f,3f,4f,5f$，恰好是根音$C_3$ 的泛音列中的5项。

纯律的问题：五度音程D-A不协和，存在两种大二度的全音，CD,FG,AB为9/8，DE,GA的比例为10/9

以及转调会有很大的问题。

按照纯律，升四个纯五度，降两个纯八度和一个大三度，得到 $81/80=1.0125$，回到比 C 略高的地方，其中 $1.0125$ 称为 谐调音差(syntonic comma)

4、显然12个半音分一个八度，得靠无理数，于是出现了 平均律(equal temperament)

事实上不晚于1581年，朱载堉就计算出25位有效数字的 $\sqrt[12]{2}$，用好多好多算盘。西方到1636年的梅森才出现。

巴赫的名作《音乐的奉献》中，有一首 “canno per tonos”，就是利用十二平均律进行的转调。巴赫在乐谱的边空上写下“随着转调升高，国王的荣誉也升高”，事实是调后来又转回来了。

感觉不太听得出来（大概是我耳朵不好使，但是艾舍尔的画倒是很让人迷醉

当然，平均律可以转调，但是也失去了一些东西。

一些小结：

三分损益和五度相生得到的大三度81/64大于理想的大三度5/4

三分损益和五度相生得到的纯五度符合理想的简单整数比

纯律确定的自然音程中由两种不同的大二度，五度音程D-A不协和，但是大三度的距离都是一致的（？）

音分(cents) 是度量不同音乐的频率之比的单位，两个音乐之间的音分等于

$$1200\log_2{\left(\frac{f_2}{f_1}\right)}$$

每个半音 $100$ 音分。

例如十二平均律中，音级 G 比 C 高了 7 个半音，频率之比为 $2^{700/1200} \approx 1.4983$。

普通人通常能分辨出 4 ~ 6 音分的频率差。

这里应该有一张不同律制的音分值对照表

为什么一个八度是十二个音级？

没有为什么。如果一个八度包含60个音级，相邻两个音级之间只差20音分，太近了。

传统的阿拉伯音乐中，音级之间最小相差约 1/2 个半音，即 四分之一音 (quarter tone)，一个八度

关于八度循环，五度纯正，和弦协和，结果到最后用的平均律，只能用无理数来表示，美就美在天公不作美！

用有理数逼近无理数的一个重要途径是 连分数(continued fraction)，可以证明连分数逼近无理数是所有分母不超过其分母的有理数中的最佳有理逼近。>> 华罗庚《数论引理》。

定义一种记号 $C_n=[a_0,a_1,…a_N]$ 。

$$log_2{3/2}=0.5849625...$$ $$[\text{0,1,1,2,2,3,1,5,...}] = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+..}}}}}}$$

$log_2(3/2)$ 的 $N$ 次渐进为 $1,1/2,3/5,7/12,24/41,31/53,179/306…$

其中 $7/12$ 是其中一个合理的最佳有理逼近，相比之下 $41$ 就有点大了，事实上英国科学家，音乐理论家 Robert Holford Macdowall Bosanquet 制造出一个 53 平均律的扩展键盘，在那里，第31个半音处为纯五度。

反正就是扯吧（但扯得有理有据，很好玩！

关于无理数和有理逼近的一点没用的补充

狄利克雷逼近定理：设 x 是无理数，则存在无穷多对整数 (p,q) ，使得 $0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{p^2}$。可以用抽屉原理证。

刘维尔数： 若对于任何 $n\ge 1$，存在整数 $p>1$ ，以及整数 $q$ 使得 $0<|x-\frac{q}{p}| < \frac{1}{p^n}$

丢番图逼近的刘维尔定理： 设 $n\ge 2$，无理数 $x$ 是某个 $n$ 次整系数多项式的零点，则存在常数 $A>0$ ，使得对于任何整数 $q$ 和正整数 $p$， $|x-q/p|>A/p^n$

以及由此定义的无理测度，代数数的无理测度为 $2$。$e$的无理测度为$2$，$\pi$ 的无理测度目前的上界似乎是七点几。

Music,Chance and Computer

十八世纪后期，西方流行扔骰子游戏，预先准备好若干编了号得音乐片段，演奏时通过掷骰子来确定选用哪个音乐片段。至少可以追述到1757年克恩伯格出版《波格涅兹和小步舞曲作曲常备》

对于离散的 随机变量(random variable) ，$\xi$ 的可能取值只有有限多个或者至多可数无穷多个。

随机事件发生的概率称为 概率分布(probability distribution)

机遇音乐与易经

What brings about this unpredictability is the use of the method established in the I Ching (Book of Changes) for the obtaining of oracles,that of tossing three coins six times.

Three coins tossed once yield four lines: three heads,broken with a circle;two tails and a head,straight; two heads and a tail,broken; three tails,straight with a circle. Three coins tossed thrice yield eight trigrams (written from the base up)

​ ——J.Cage,Silence, Wesleyan University Press,Connecticut,1961,p.57

简单来说就是从易经中寻找理论依据，音乐有一半是安静休止符，体现了阴阳，动静之意，采用变卦，变爻体现易经中的变化思想

学这个的时候舍友刚加易学社，晚上总想着给我算卦。

我让他给我脱单算了一卦，他算出来说，试着解释说，什么不要带着太大地私心啊，不要为了实现什么目的而脱单啊……

随机音乐(stochastic music)

克赛纳基斯(1922.5~2001.2)，一个主要学建筑的，也适当学了点音乐，在意大利入侵希腊后加入左翼国民解放阵线(National Liberation Front , EAM)，后加入希腊人民解放军，在战斗中左眼失明。1947年，大学毕业，然而右翼势力掌权，被迫逃亡巴黎，在一个建筑设计室做工程助理，同时希望学习音乐。

想在音乐上更进一步，单作为一个建筑出生的人，在伟大的巴黎屡屡碰壁，讥讽，排挤……。

直到，遇到了他的贵人，来自法国的作曲家梅西安。

梅西安鼓励他说：You have the good fortune of being Greek, of being an architect and having studied special mathematics. Take advantage of these things. Do them in your music。

1959年，克赛纳基斯离开了勒·阿布西耶的建筑设计室，专门从事作曲和教学。

在克赛纳基斯看来，线性的复调音乐被其自身高度发达的复杂性毁掉了，人们实际听到的只是不同音区的一大堆音符。对于听众，巨大的复杂性使得他们无法理解音线之间的缠绕，最终宏观的效果就变成了分散在整个音乐谱系上的、毫无逻辑的偶发声响，这就是复调线性系统与实际听到的结果之间的矛盾。

如果把互不相干的音乐整合起来，复调音乐固有的这个矛盾就不复存在了。实际上，当多声部的线性组合与叠加不再起作用时，在每一个时刻的孤立状态和声音成分的变化就不重要了，起作用的将是它们的统计均值。我们可以通过选取音乐进程的均值来控制其围观效果，于是需要引入概率论和组合计算的思想，这也是音乐思想上逃离“线性范畴(linear category)” 的可能路径。

于是它创作了音乐《变形》(Metastasis,1953-1954)，由61个人演奏，46件弦乐器，每一个弦乐器演奏一个不同的声部。在乐谱上，表现演奏的这些直线可以构成直纹面(ruled surface)。

有一说一，不好听

之后，克赛纳基斯致力于发展随机音乐。利用气体分子运动理论(kinetic theory of gases)，创作了《概率之动》。分子运动（弦乐器滑奏速度）满足 Gauss 正态分布 (normal distribution)的概率密度函数，假定温度为35，设计了每个分子的随机运动的轨迹。

52~60小节历时18.5秒，为此从58个值除法，计算了1148个速度，他把用这种方法产生的音乐复合体称作“音云”(clouds of sounds)

有一说一，还是不好听

不过它中间那一段感觉特别像猫和老鼠的配乐，很有趣。

马尔科夫链

大概计概提到过

假设 ${\xi_t \mid t=0,1,2,\dots}$ 是一个离散型随机变量的序列，每个随机变量 $\xi_t$ 都具有相同的取值范围 $\Omega$ 随机变量的序列构成一个随机过程(stochastic process)，通常把 $\Omega $ 称作 $\xi_t$ 的状态空间。

stochastic

条件概率(conditional probability)是指在另外一个事件 B 已经发生的条件下事件 A 的发生概率，记作 $P{A\mid B}$

具有马尔可夫性质的随机过程称为 马尔科夫链(Markov chain)

设 ${\xit|t=0,1,2…}$ 史一个随机过程，$\Omega$ 是其状态空间，如果对于任何正整数 $n$ 和 $n+2$ 个状态 $k_0,k_1…k{n-1},kn$，$k{n+1}\in\Omega$ 条件概率总满足下述关系

$$P\{\xi_{n+1}=k_{n+1}\mid \xi_0=k_0,\xi_1=k_1,...\xi_{n-1}=k_{n-1},\xi_n=k_n\} \\=P\{\xi_{n+1}=k_{n+1}|\xi_{n}=k_n\}$$

就称这个随机过程具有 马尔可夫性质(Markov property)

一个马尔科夫链称为是 时间齐次的(time homogeneous)，如果随着时间的变化概率不变。

从一个状态到下一个状态的 转移概率(transition probabilty) 可以写成一个 $n\times n$ 级方阵。这个矩阵称为马尔科夫链的 转移概率矩阵。

应该加入休止符，不然一直听到结尾确实有点憋不住

以及高阶马尔可夫链。

机器学习

音乐信息检索(MIR:=Music Information Retrieval)

音乐流派分类(Music genre classification)

genre : 类型，流派，风格，体裁，A particular type or style of literature,art film or music that you can recognize because of its special features

音数什么都讲

某：我还以为是 ai 引论

特征提取 MFCC = 梅尔频率倒谱系数(Mel-frequency Cepstrum Coefficients)

spectrum -> cepstrum，倒谱，xs

音频数据流 $\to$ 分帧，Hamming窗口 $\to$ FFT：快速傅里叶变换 $\to$ 滤波器组(Filter Bank) $\to$ DCT(离散余弦变换Discrete Cosine Transformation) $\to$ MFCC

Mel 标度 $m=2595\log _10\left(1+{\frac {f}{700}}\right)$

随着年龄的增长，高频的声音会听不到……

监督学习(Supervised learning)

Recursive neural network
Convolutional neural network
SVM - Support vector machine
Linear regression
Logistic regression

大部分作为训练集(training set)，小部分作为测试集合(testing set)，以及一部分验证集合(validation set)

非监督学习

Cluster analysis
k-means clustering
hierarchical clustering
probabilistic clustering
Association analysis
Apriori 算法;
基于 Frequent Pattern Tree 的 FP-growth 算法

好像啥都不知道

一点现场演示。

Dreaming of home and mother——John Ordway（美国人）
旅愁——犬童球溪
送别——李叔同

从数据集：松花江上，毕业歌，我爱北京天安门，黄河大合唱，五月的鲜花，乘着歌声的翅膀，我的太阳，圣诞老人来到小镇，鳟鱼，摇篮曲；预测送别的类别（中/外）。

音乐基础知识(3)

调式，音阶和和弦(Modes,Scales and chords)

调式

若干音级围绕着某个有 稳定性 的中心音级，按照一定的音程关系组织在一起构成的乐音体系构成 调式(mode) 。例如：大调式，小调式，中国民族调式。

调式中具有稳定杆的中心音级称为 主音(tonic)

孤勇者中，谁说污泥满身的不算英雄，致那黑夜中的呜咽与怒吼，谁说站在光里的才算英雄。

听不懂（
听不出来
听不明白

我果然没有音乐素养

调式音阶：讲调式中的音级 从主音开始 从低到高到 高八度的主音 ，这样形成的音

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自然 大调(major) 是指两个相同的四声音阶结合而成，每个四声音阶的四个音级之间分别构成大二度，大二度，小二度。

经典的C大调，其音分别为 C D E F G A B

自然小调(natural minor) ：la开始，大二度小二度大二度。小二度大二度大二度

A B C D E F G

VII 和 I 了一个全音，没有把人往上拉到下一个音的感觉

把 VII 升高半音可以得到 和声小调(harmonic minor)。

然后 VI 到 VII 就三个半音了，为了弥补这个，就产生了旋律小调

旋律小调(melodic minor)

​ 把 VI 和 VII 升高半音，得到了旋律小调。

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和弦

三个或者三个以上不同音高的乐音，按照一定的音程关系组合起来，称为 和弦(chord)

传统的和弦根据 三度叠置原则 ，按照三度关系叠置的 三和弦(traid)
三个音分别叫做 根音 三音 五音（或冠音）

大三和弦（大三度，小三度）
小三和弦（小三度，大三度）
减三和弦（小三度，小三度）
增三和弦（大三度，大三度）

传统和弦要三度叠置原则，必须是三度关系，所以就要用到重升号、重降号。

还可以有七和弦

和弦的转位

实际应用中，以根音为低音的和弦称为 原位和弦，以三音、五音或者七音作为低音的和弦叫做 转位和弦

第一转位：把根音高八度，以三音位低音，六和弦
第二转位：把三音再高八度，以五音为低音，四六和弦
七和弦有第三转位：把五音再高八度，以七音为低音

黄河大合唱中用到了属七和弦 1 3 (5) 的第一转位

和弦的调性功能

好像就是以某个音为根音构成的大三和弦

主和弦(I) 给人稳定感
属和弦(V) 具有不稳定感
下属和弦(IV) 可用于过渡

正和弦三种基本连接方式

正格进行： $I\to V\to I$
变格进行： $I \to IV \to I$
复式进行： $I \to IV \to V \to I$

和弦进行：

从不协和的和弦出发，连接到协和和弦或者较为协和的和弦，这样的和弦进行称为 resolution

调性音乐中，所有的和弦最终都要回到主和弦 I

传统的和弦进行是上面的，后来有一些突破。

一些突破，标准的 blues 有12小节，基本和声为 =1,1,1,1,4,4,1,1,5,4,1,1=，为了反复吟唱，变成=1,1,1,1,4,4,1,1,5,4,1,4=

D大调卡农 把和弦分解（按照时间慢慢出来），和弦为 =1 5 6 3 4 1 4 5=，=1 5 6 3 4 1 2 5=，现代流行音乐有时采用

旋律与对称

移调变换：把音改一下

严格移调(exact transposition)：把一段旋律中的每个音级都升高或者降低相同的半音数
调性移调(tonal transposition)：适当调整半音，是的移调后得到的各个音级仍然在调式音阶中。

移调变换：$T_n(x) = x+n$
倒影(inversion)变换：$I=96-x$
逆行(retrograde)变换：$R$

$$R^2=R*R=T_0\\ R*T_i=T_i*R\\ R*I=I*R\\ I^2=I*I=T_0\\ T_n*I=I*T_{-n}\\ T_n*T_m=T_{n+m}$$

移调变换 $T$ 和 倒影 $I$ 构成的群 $$ 同构正十二边形的变换群（二面体群），阶为 24。

和 逆行变换生成的做一个直积

$\times $ ，阶为 48。

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根据八度关系构成的等价类称为音类，把所有音类放在一起构成一个集合，称为(pitch class space)

从初始音列除法，可以得到48个音列，但这48个音列可能有相同的，

$P_0=0,a_1,a_2…,P_n=n,a_1+n,a_2+n…,I_n=n,n-a_1,n-a_2…$

exercises: 一个全半音音列 $0,1,2,3…11$ 经过这三种变换只能生成24个互异的，其中12个上升12个下降。

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三和弦的变换：

P 平行变换：例如把大三和弦 $C$ 变成小三和弦 $c$，（改变三音）

R 关系变换：（改变五音）

L 导音交换：改变根音