学了一年微积分线性代数了，现在来看这个应该或许会好很多？
- 几乎无限期咕咕咕，或许可能会在大三开学前试图把二三章的坑填完
James R. Munkres 的 <
使用自己的理解写一些不那么数学的话。
数分三第一章：拓扑拾遗
复变第一章：拓扑拾遗
实变第一章：拓扑拾遗
拓扑第一章：古今数学思想；第二章：继续吹牛逼；第三章：劝退物院同学；第四章：攻击数院老师；第五章：天上地下唯我独尊，吾乃*hh是也！
Topology - 2nd Edition - Solutions and Answers | Quizlet
https://dbfin.com/topology/munkres
Munkres拓扑学课后习题及答案 - 知乎 (zhihu.com)
$ABCD$
mathbf $\mathbf{ABCD}$
- mathcal $\mathcal{ABCD}$
- mathit $\mathit{ABCD}$
- mathrm $\mathrm{ABCD}$
- mathsf $\mathsf{ABCD}$
- mathtt $\mathtt{ABCD}$
- mathbb $\mathbb{ABCD}$
Working problems is a crucial part of learning mathematics. No one can learn topology merely by poring over the definitions, theorems, and examples that are worked out in the text. One must work part of it out for oneself. To provide that opportunity is the purpose of the exercises.
拓扑的基
定义 一个 topology 是 集合$X$ 的子集的族$\mathcal T$，满足 $\empty,X \in \mathcal T$ ，且有限交和任意并是封闭的。
离散拓扑(discrete topology) 指的是全体子集构成的拓扑。
平庸拓扑(trival topology) 或密着拓扑(indiscrete topology) 指的是只有 $\empty ,X \in \mathcal T$ 的，也叫 indiscrete topology
定义 两个拓扑真包含关系，可以有严格细于(strictly finer)和严格粗于(strictly coarser)的比较
定义 拓扑的基(basis) 指的是一个集合，整个集合的每个元素都被包含进去，并且关于交操作封闭。
定义 一个东西是开集就是说是拓扑的一个元素。
定义 由基生成的拓扑是指，整个拓扑的每个元素（X的开集）的每个元素都能有一个中间的基元素。$x\in B \subset U,B\in \mathcal B,U\in \mathcal T$。而不是开集就不在拓扑里面。
脑补一下好像是唯一的，然后另一种表述方法就是这些基的元素的并的族。
注意到拓扑元素在基下的表述不是唯一的。
引理 根据拓扑找基，可以知道基是开集的一个族，然后要求对于每个开集都满足上面的条件。证明是基的方法在于基生成的拓扑细于原拓扑，却又都是其中的元素。
引理 拓扑的细于 可以用基来比较，如果 $\forall B\in\mathcal B,\exist B’\in \mathcal B’,s.t.x\in B’\subset B$，则 $\mathcal B’$ 生成的拓扑细于 $\mathcal B$ 生成的拓扑。
实直线上的拓扑
- 实直线上所有开区间作为基生成的拓扑，称为标准拓扑(standard topology)。无特殊说明一般认为 $\mathbb R$ 上就是这个拓扑
- 左闭右开区间生成的，下限拓扑(lower limit topology)，此时称为 $\mathbb R_l $
- K拓扑，是所有$(A,B)-K$ （K为形如$\frac 1n,n\in \Z^+$的数组成的集合）$\mathbb R_K$
- $\R_l和\R_K$ 严格细于 $\R$ ，但它们之间不能比较。
定义 子基$\mathcal S$ 是 $X$ 子集的一个族，并为 $X$，由子基生成的拓扑 表示这个((子基的有限交)的任意并)的族。挺好理解的。
一些习题
一个拓扑的基生成的拓扑等于包含着基的所有拓扑的交。一个拓扑的子基生成的拓扑同理。
有限补拓扑：有限集的补集的元素构成的拓扑。细于标准拓扑。
序拓扑
定义 在全序关系下的集合，包含所有开区间 以及包含最小元的半开区间（如果存在），包含最大元的半开区间（如果存在）构成的基生成的拓扑，称为 序拓扑(order topology)
- 集合 $X={1,2}\times \Z_+$ 在字典序下的序拓扑不是离散拓扑，因为任何包含 $2\times 1$ 的开集必然包含其一个基元素，而任何一个基元素一定包含 $a_n=1\times n$ 中的点。（序拓扑是开区间或者包含最大最小的闭区间，开区间一定包含别的东西）
定义 对于一个全序集，有四个子集可以称为 $a$ 生成的 射线（左右个方向，分开和闭，分别是开射线和闭射线）开射线构成序拓扑的子基。
积拓扑
定义 开子集的集合 的乘积 的族 作为基 生成的拓扑 称为 积拓扑(product topology)。
- 其实先取基 再作乘积 也是原来的直接乘积得到的拓扑的积。其实很明显，你把一维固定然后去生成另外一个维度就行了。
定义 投影(projections) 是一个函数（懂得都懂，不考虑空集的情况投影映射都是满射）
定理 族 $\mathcal S={\pi_1^{-1}(U)\mid\text{U是X中的开集}}\cup{\pi_2^{-1}(V)\mid\text{V是Y中的开集}}$ 是 $\rm X\times Y$ 的积拓扑的一个子基。
子空间拓扑
定义 集合的子集与拓扑的交 得到的是一个族是子集的拓扑，称为 子空间拓扑(subspace topology) 。那个子集是一个 子空间(subspace)，其开集同样由取交获得。（证明有限交任意并封闭即可）
引理 基取交得到的是子空间拓扑的基。
定理 乘积的子空间拓扑的限制和子空间拓扑的乘积是同一个拓扑
- 但是对序拓扑不太对劲，直接把序拓扑限制在子空间上，会有开集不是原来的开集。比如 $\R$ 和 $\rm Y=[0,1]$，但至少这里是可以作为基的。对于其它的情况会更诡异，比如 $\R\times \R$
定义 对于全序集 $\mathrm X$，一个子集 $\rm Y$ 称为是凸(convex)的，如果对于 $\rm Y$ 的每个点偶对 $a<b$，$\rm X$ 中的整个区间 $(a,b)$ 包含于 $Y$。
定理 如果是凸的，那么序拓扑限制在子集上生成的序拓扑和子集的序拓扑是一样的。
- 将开集映射到开集的映射是 开映射
Lemma 非空集合 $A,B$，如果 $A\times B \subset X\times Y$ 是开集，当且仅当 $A,B$ 在 $X,Y$ 中分别是开的。
- $Y$ 是 全序集 $X$ 的一个凸子集，并不意味着 $Y$ 是 $X$ 的一个区间或射线，还可能是 $X=\Q,Y=(-\sqrt 2,\sqrt 2)\cap\Q$
闭集合与极限点
定义 如果是开集的补集，那么就是闭集(closed set)。一个集合可以又开又闭。
定理 闭集的有限交任意并都是闭集
- 闭集与子空间 $Y$ 的交得到子空间的闭集。而同开集一样，子空间的闭集不一定是原来的闭集。
定义 拓扑空间 $X$ 的一个子集 $A$ 的内部(interior) 定义为包含于 $A$ 的所有开集的并。 $A$ 的闭包(closure) 定义为包含着 $A$ 的所有闭集的交，$A$ 的内部基座 $\mathrm {Int}A$ 或者 $\dot A$ ，$A$ 的闭包记作 $\mathrm {Cl} A$ 或者 $\overline A$。
定义 $U$ 是包含 $x$ 的一个开集，就说 $U$ 是 $x$ 的一个邻域 (neighborhood)
定理 $x\in \overline A\iff$ 每一个包含 $x$ 的开集 $U$ 与 $A$ 相交。（大概可以用柯西列极限来理解）
$\iff$ 每一个包含 $x$ 的基元素 $B$ 与 $A$ 相交。
定义 $A’$：极限点(limit point) 或者 聚点(cluster point,point of accumulation) 定义为 $x$ 的每一个邻域都有与 $A$ 交 并且异于 $x$ 的点。
定理 $\overline A = A \cup A’$
Hausdorff空间
注意到因为一般拓扑空间的很多结构和性质和我们直觉上的实直线的经验有一些差别，比如说单点可能不是闭集，例如我们定义收敛是对于每一个邻域，在 $n > N$ 的时候都在里面，这些在一般拓扑中可能会比较奇怪。所以需要加条件
定义 Hausdorff空间：任何拓扑空间中不同的两个点 $x_1,x_2$，都存在 $x_1$ 的邻域 $U_1$ ，$x_2$ 的邻域 $U_2$ ，使得这两个邻域无交。
定理 （更弱的条件，这个条件叫做 $T_1$ 公理） Hausdorff空间中的任何有限集都是闭的（也就是每个单点集都是闭的）。
- 实直线上有限补拓扑是 $T_1$ 的，但不是一个 Hausdorf空间。
定理 拓扑空间满足 $T_1$ 公理，则 $x$ 是子集 $A$ 的极限点当且仅当 $x$ 的每一个邻域与 $A$ 的交是个无限集。
证明考虑极限点要求每个邻域都有交，所以反证法要找到一个无交的邻域，利用开集和开集的交还是开集，而有限点集的补是开集。
想象一下 $\R$ 上的标准拓扑，大概是这样。T1公理条件不够强，很多结论需要用到 Hausdorfff公理。
定理 若 $X$ 是一个 Hausdorff 空间，则 $X$ 中的一个序列最多收敛到一个点。
- 记 $x_n \to x$ ，并称 $x$ 为序列 $x_n$ 的 极限(limit)
定理 每一个具有序拓扑的全序集是一个 Hausdorff 空间
Hausdorff空间 对 积拓扑和子空间拓扑都继承条件。
上面两个公理（Hausdorff公理，T1公理）是 分离性公理 的一系列条件中的两个，其他的条件包括 可数性公理、紧致性，连通性 等。
连续函数
- 无限期咕咕咕