一些几何概念堆砌

From 梁老的[微分几何与广义相对论]

拓扑

函数的连续性 任何一个开集的逆映射都是开的。点连续 任何 $f(x)\in G' \in \mathscr S$ ，存在 $G\in \mathscr T, x\in G, f[G]\in G'$ 。拓扑空间的连通性 除了 $\empty,X$ 外没有既开又闭的子集。集合的紧致性 任一开覆盖都有有限子覆盖。同胚是定义在拓扑空间和拓扑空间上的。

流形

微分流形从拓扑中定义。首先是 $(M,\mathscr T)$ 的这个集合有开覆盖$\bigcup_\alpha O_\alpha$ ，开覆盖的每一个集合 $O_\alpha$ 存在一个和 $V_\alpha$ 的同胚映射 $\psi_\alpha$，这里 $V_\alpha$ 又得是 $R^n$ 的通常拓扑衡量的开子集。同时，如果两个开集非空，那么他们的复合的同胚映射 $\psi_\beta\circ \psi_\alpha^{-1}$ 作为一个 $R^n\to R^n$ 的函数是 $C^{\infty}$ 光滑的。

上面的定义算光滑微分流形，物理中的流形一般还需要作为拓扑空间是 Hausdorff的 和 第二可数，简称流形。

$$O_\alpha$$ 中的元素可以利用 $$\psi_\alpha$$ 这个映射获得坐标。也即 $$(O_\alpha,\psi_\alpha)$$ 构成一个**坐标系**。进一步我们也就有了坐标变换函数 $$\psi_\beta\circ \psi_\alpha^{-1}$$。这个坐标系在数学上叫做 chart（图），坐标系的集合叫做 atlas，第二个光滑的条件叫做相容性条件（compatibility）。一般就取最大的相容的坐标系会最好。 然后就有微分同胚的概念，和同胚的差别还在于希望这个映射（已经定义了流形了）是 $$C^\infty$$ 的。微分同胚是流形间的关系，同胚是拓扑空间中的关系。 这样的映射 $$M\to M'$$ 有一个特例是 $$M'=R$$，则我们可以定义标量场，一般我们认为是光滑函数。 最早定义了拓扑空间，让后就能定义流形，因为得有开集和映射我就有了到 $$R^n$$ 的坐标的方法，开集中的一个元素叫做一个点。接着我定义了标量函数，我还定义了矢量的概念。 **矢量** 矢量是一个作用在标量函数上的算子，流形上一点的适量空间是 $$R^n$$ 的。在一点的映射函数 $$\psi$$ ，有一组很自然的矢量，这是说如果给定一个标量函数，我可以对应于坐标空间得到一组偏导数，有趣的是这些矢量恰好构成了一组基。 接着我们定义了曲线，或者说参数曲线，于是就有了切矢的概念，切矢也是说曲线上的一个矢量，类似于全导数了。如果把曲线理解成带参数的映射而不是映射的像本身，那么曲线的切矢因为依赖于参数化，也就只有一个切矢。而非无数平行的。$$V_p$$ 的每个矢量都是某个曲线的切矢，于是我们就知道了为什么叫切空间。 **矢量场** 记得一个点上的矢量是一个定义域在标量函数上的一个线性算子？所以矢量场是这些线性算子的集合，定义域还是在标量函数上。点上的矢量是一个点的作用，矢量场就是对整个函数的一个大的作用，最终把 $$f$$ 变成 $$v(f)$$。可以理解为一个矢量给定了一个方向，然后就可以对这个函数在这个方向求导得到一个数。既然有了矢量场，就可以有对易子，也是个矢量场。 **对偶矢量场** 对偶矢量场在某个点上的定义是一个把矢量映射到常数的东西，类比于 $$df$$ 这个东西，给定一个函数，再给一个矢量，我就能求这个对偶矢量场在这个矢量上的值，偏导数的符号恰好理解成一个抽象矢量的基矢方向，而 $$df$$ 这个就恰好可以理解成一个内在的属性，可以代入一个矢量得到一个值，但是又满足线性性质，是一个线性空间。 **张量与度规** 在空间上于是可以定义张量场 $$\mathscr T_M(k,l)$$，张量是一些对偶矢量和矢量的积，张量可以定义简并操作，也可以定义“作用”，作用可以理解成作张量积之后简并。线性映射是一个（1，1）张量，度规metric是一个（0，2）张量，度规是可以理解成 $$V\to V^*$$，也就是一个线性空间到其对偶的映射。$$(k,l)$$ 这种张量还是可以写成抽象指标的形式，大概是 $$T_{cd}^{ab}$$ 这种，然后具体指标（分量）用 $$T_{\mu \nu}^{\alpha \beta}$$ 这样来表示。有了度规，就可以 $$w^a=\delta_{ab}w_b$$。 对于张量，用圆括号表示对称部分，用方括号表示反对称部分。 $$T_{(ab)}:=\frac{1}{2}(T_{ab}+T_{ba})$$，$$T_{[ab]}:=\frac{1}{2}(T_{ab}-T_{ba})$$。度量张量可以把一个逆变指标变成协变指标，$$v_\mu= g_{\mu\nu}v^{\nu}$$。没错我们发现这个抽象指标是一个很厉害的东西。 **导数算符** 为了看这个抽象指标有多厉害，我们不由自主地想要定义导数算符 $$\nabla$$，除了各种线性，莱布尼兹，各种缩并交换，以及无绕性之外，最关键的就是这个对于任何一个标量函数 $$v(f)=v^a\nabla_a f$$，就是定义。 > 推广的时候gradient of a function f看成一个dual vector field而不是vector filed，而一般在欧氏空间是因为又了度规，所以不区分vector filed和dual vector filed。用起来发现dual更方便。 注意我本身是不知道矢量作用于一个函数会发生什么的，但是我能证明矢量是一个线性空间，并且可以被这些偏导数的记号线性表出。所以这个 $$\nabla$$ 主要要考虑的就是和这些偏导数兼容。$$v(f)=\vec v\cdot \vec \nabla f=v^a\nabla _a f$$。还有一个性质是 $$\nabla_a \nabla _b f=:T_{ab}=T_{ba}$$，加上这条无绕，更强一点。有可能有很多满足情况的 $$\nabla$$，因为把它作用在非标量函数（如矢量场，对偶矢量场）上可能会不一样。但是，我们发现$$

[(\tilde \nabla_a -\nabla_a ) \omega_b]_p=[(\tilde \nabla_a -\nabla_a ) \omega_b’]_p

$$两个 $$\nabla$$ 的差也是一个导数算符，所以对于 $$p$$ 点的一个dual vector，可以自然地把它延拓成一个dual vector field（其他地方都无所谓），注意，所以这个 $$[(\tilde \nabla_a -\nabla_a ) \omega_b]_p$$ 天生的就是一个p点的 tensor of type (0,2)。$$

\tilde \nablaa -\nabla_a :\mathscr T{Vp}(0,1)\to T{V_p}(0,2)

$$也就是 $$T_{V_p}(1,2)$$。妙啊。也就是在 $$p$$ 点，$$(\tilde \nabla _a-\nabla _a) \omega_b= C_{ab}^c \omega_c$$ 。如果torsion free，就有 $$C_{ab}^c=C_{ba}^c$$。进一步可以发现对于(1,0)是 $$\nabla_av ^b=\tilde \nabla_av^b+C_{ac}^b v^c$$，更多的也有。如果写得非常具体，那么 $$\partial$$ 这个导数的坐标分量等于坐标分量的偏导数。为了表示非常具体的 $$\partial _a$$，我们用 $$\nabla _a \omega_b = \partial_a \omega_b - \Gamma^c_{ab}\omega _c$$，这里 $$\Gamma$$ 我们用克式符(Christoffel symbol)，抽象指标算tensor，但是坐标相关，每个坐标下定义一个tensor满足tensor变化率但是两个不同的坐标系下会有不同的克式符。因为是tensor，所以我们把 $$\nabla_a ,\partial_a,\Gamma$$ 都能联系起来。 **平移** 定义是说 $$T^b\nabla _b v^a=0$$，$$T$$ 是切矢，大概是说沿着这个矢量不变（平移）。我们发现在给定坐标系具体分量的展开后，得到的是一个常微分方程，也就是给定了边界条件，也就有唯一的解。于是我们根据这个，发现给了一条曲线 $$v^a\in V_p$$ 和 $$u^a \in V_q$$ 可以被联系起来。因为有导数算符，又因为有一个曲线，就大概可以理解成把一个矢量平移到另一个切空间。一般的平移是曲线依赖的，但是也比没有好啊，所以这个 $$\nabla_a$$ 念作 grad a 叫做两个切空间的联络。 **度量适配** 对于两个附加结构，我们定义的$$(M,\nabla_a,g_{ab})$$ 需要考虑度量和联络的适配。 我们希望沿线平移后，$$T^c\nabla _c(g_{ab} v^au^b)=0$$ ，就是这两个保持内积。用莱布尼兹法则化简后，等价于 $$\nabla_a g_{bc}=0$$。 Derivative operator associated with a metric，事实上给定一个度量，存在且唯一一个导数算符。怎么找，随便拉一个 $$\tilde \nabla$$，然后算一个 $$C^c_{ab}$$，算出来就找到了。还能证明唯一。所以广义黎曼空间 $$(M,g_{ab})$$ 默认适配 $$\nabla _a$$。 > 遗憾的是先给connection，再找metric，答案是no。有一个反例，但我不知道 最后是分量在真实计算的表达式。$$

F^\sigma{\mu\nu}=\Gamma^c{ab}(dx^\sigma)_c(\frac{\partial}{\partial x^\mu})^a(\frac{\partial}{\partial x^\nu})^b

$$代入 $$\Gamma_{ab}^c$$ 在 $$\partial$$ 下给定metric的展开，就知道在给定$$

\Gamma{\mu \nu}^\sigma = \frac{1}{2} g^{\rho \sigma} \left( g{\sigma \mu, \nu} + g{\nu \mu, \sigma} - g{\nu \sigma, \mu} \right)

$$四维时空，但是时空对称，有40个分量× **测地线** 还记得你说的 $$T^b\nabla _b v^a=0$$ 是曲线的平移，那么 $$T^b\nabla _a T^a=0$$ 就是一条测地线。 这个可以在分量展开$$

T^b\nablab v^a=T^b(\partial_b v^a+\Gamma^a{bc}v^c)\
=T^\mu\frac{\partial v^a}{\partial x^\mu} +T^\mu\Gamma^a{\mu\nu}v^\nu\
=\frac{dx^\mu}{dt}\frac{\partial v^a}{\partial x^\mu} +\frac{dx^\mu}{dt}\Gamma^a{\mu\nu}v^\nu\

$$
利用测地线我可以把流形上的一个开的集变成一个坐标系下。具体来说是把一个切空间中的矢量映射到一个流形上的点。如果恰好把测地线映射到直线，这样的坐标系叫做黎曼法坐标系，这玩意儿还有逆像。

黎曼曲率张量

大概是说 $(\nabla_a \nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c=R_{abc}^d\omega_d$ ，然后定义这个 $R$ 是黎曼曲率张量，也可以因为有 $g_{ab}$ 可以有一些缩并，缩并成里奇张量，外尔张量等等，不展开细节了。

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后面有机会再看吧，应该已经足够我大致明白什么是微分几何了。