Recap：
显然我们可以定义两个概率分布上的一条curve。一般在 $R^d$ 上好的有些性质似乎换一个地方不一定合适。
一个自然的例子是，比如对于 $\mu_0,\mu_1$，或许 $\mu_t=(1-t)\mu_0+t \mu_1$，但是着并不一定总是最优的传输，例如 $\mu_0=N(0,1),\mu_1=N(1,1)$都是高斯分布，但是中间的 $\mu_t$ 显然不是一个高斯分布。
好的性质往往包括 连续，可微。
我们说到我们有一个空间，我们有弱连续的概念。然后我们有一些粒子，从1到n，每个点都是 $R^n$ 上的位置 $\thetat(i)$，于是我们定义 $\mu_t=\frac{1}{n}\sum{i=1}^n \delta _{\theta_t(i)}$ 。
定理：假设 $\theta(i)$ 是关于时间连续的，那么 $\mu_t$ 也是连续的。
Proof: 可以找到一个距离的上界，也就是这些点的移动代价，具体来说如下，所以就可以
并且可以得到推论，就是如果粒子速度(nice?)有上界，那么 $\mu_t$ 应当是在Wasserstein空间中Lip的。